actividades tema 1

1	En una conversación entre amigos, uno dice: “Mira que tengo mala suerte, cada vez que voy al campo a pasar el día, llueve” ¿Que partes del método científica se salta? Solución: El señor está estableciendo una ley prácticamente desde la observación del problema. Se ha dado cuenta de que en algunas ocasiones al salir al campo llueve y establece una hipótesis que sin ser contrastada, la convierte en una ley. Lo que debería hacer es simplemente repetir el experimento consistente en ir al campo en varias ocasiones para comprobar que no se cumple siempre.
2	Indicar la fase del método científico a la que pertenece cada uno de estos hechos o enunciados: a) Medir el tiempo de caída de una bola por un plano. b) Suponer que la luna no tiene luz propia sino que refleja la luz solar. c) Observar las estrellas de la Osa Menor. d) Buscar en un libro de física el significado de la palabra dispersión. e) Representar gráficamente la presión de un gas frente al volumen que ocupa. Solución: a) Se refiere a la fase experimental de toma de datos con el fin de verificar una teoría. b) Se trata de una hipótesis que enunciamos basada en apoyo documental, sin necesidad de un refrendo experimental. c) Sería la primera fase del método científico: observación de la realidad. d) No corresponde propiamente a una etapa sino a todas ellas: generalmente será más propia de una etapa inicial de asesoramiento, definición y planteamiento del problema. e) Se refiere al tratamiento de resultados que sigue a la fase experimental, puede ayudar a confirmar o rechazar una hipótesis, puede proporcionarnos una relación entre variables, una ley general... Debe quedar claro que no siempre las acciones son exclusivas de una etapa, ni las etapas del método científico se suceden en el mismo orden
3	¿Por qué se dice que el método científico es propio de las ciencias experimentales? ¿En qué se basa? Solución: Significa que es un método propio de aquellas ramas del saber cuyo punto de partida sean los hechos observables y que se pueden medir. Sin un experimento que permita tomar medidas a partir de las cuales se puedan analizar regularidades, y enunciar reglas y leyes, no hay propiamente método científico. Desde luego su base fundamental es la medida, la cual requiere experimentación.
4	La observación experimental permite plantear hipótesis que luego deben ser confirmadas o refutadas mediante sucesivas experiencias. Se describen a continuación algunos experimentos. Plantear, de manera razonada, una hipótesis verosímil: a) En el anillo de Gravesande, cuando calentamos la bola pero no el anillo, la bola no puede pasar por el orificio. b)  Al colocar un globo poco hinchado encima de un radiador, aumenta considerablemente su tamaño. c) Pesamos por separado un trozo de aspirina efervescente y un tubo de ensayo con agua. Añadimos el trozo de aspirina y dejamos que se disuelva antes de volver a pesar. Si el tuyo de ensayo estaba abierto, la masa final es menor. Si estaba cerrado con un tapón, la masa final es la misma. Solución: a) Podemos establecer una primera hipótesis sencilla: "Al aumentar la temperatura, las sustancias aumentan su volumen". Para asegurar la ley que relaciona dichas variables, hace falta diseñar otros experimentos. b) Puesto que las variables que sufren variación son la presión y temperatura, podemos decir que: "Al aumentar la temperatura de un gas, aumenta su volumen." Esta hipótesis, sin embargo, es sólo una primera aproximación a una ley científica: es preciso realizar experiencias que nos dirían que ello se cumple cuando no se modifica la presión. Y aún restaría por hallar la ley que relaciona dichas variables. c) El ensayo nos remite a una conocida ley de la química conocida como Ley de Conservación de la masa o Ley de Lavoisier, y la clave está en la diferencia observada entre el hecho de que el tubo esté abierto o no, ya que si lo está escapa masa en forma de gas. De donde concluimos: "En todo experimento químico que tiene lugar en un recipiente cerrado, la masa se conserva."
5	¿Qué significa que la ciencia es empírica? Proponer ejemplos de magnitudes que sean propias del método científico. Solución: “Empírico” significa que tiene como base la experimentación, que se apoya en hechos experimentales. Se puede aplicar el método científico a toda realidad que se pueda medir, la cual se expresa en magnitudes tales como: fuerza, volumen, campo eléctrico, calor, color, etc.
6	¿De qué manera procede el método científico para contrastar una hipótesis? Solución: Las hipótesis se confirman o rechazan por medio de experiencias, cuyos pasos se pueden resumir aproximadamente en: - Se diseñan dispositivos y experimentos que permitan obtener medidas. - Se definen las variables que intervienen en el proceso. - Se realizan experimentos y se anotan y tabulan los resultados. - Se analizan y representan estos. - Se extraen conclusiones a favor o en contra de la hipótesis de partida.
7	¿Se pueden contrastar las hipótesis sin realizar experimentos? Solución: Hubo una época en que las hipótesis se contrastaban buscando información a partir de los escritos y opiniones de los sabios de la Antigüedad. Sin embargo hoy día las hipótesis se contrastan solamente de forma experimental.
8	Justifica si la siguiente frase es correcta o no: “La aplicación del método científico es la única forma de que la ciencia avance”. Solución: La frase es incorrecta. A lo largo de la historia se han producido una gran cantidad de descubrimientos debidos únicamente al azar. Con ello no queremos decir que los avances científicos haya que dejarlos en manos de la casualidad, sin embargo como hemos visto no solo el método científico aporta soluciones.
9	Definir “hipótesis científica” y señalar sus características más importantes. Solución: En ciencia se llama hipótesis a toda conjetura o supuesto verosímil (sin contradicciones evidentes, susceptible de ser contrastada).Se caracteriza porque: - La verificación o la demostración de la falsedad de la hipótesis ha de hacerse por vía experimental. - Se puede poner en cuestión toda o parte de la hipótesis estudiada. - No siempre se puede contrastar directamente una hipótesis, por lo que se recurre a verificar otras consecuencias indirectas derivadas de ella. - La verificación experimental requiere un lenguaje específico hecho de medidas, unidades y variables relacionadas mediante expresiones matemáticas.
10	Colgando sucesivas masas de un muelle se han obtenido los siguientes resultados: Alargamiento (cm) 2 3 4 5 6 Masa colgante (g) 10 15 20 25 30 Aplicar las etapas del método científico al ejemplo dado y explicarlas. Solución: El planteamiento del problema parte de una observación elemental: el alargamiento de un resorte aumenta a medida que aumenta la masa que pende de él. Eso nos permite enunciar varias hipótesis: - La masa es proporcional al alargamiento provocado, según una relación lineal. - La masa es proporcional al cuadrado de los alargamientos. - Hay una relación entre masa y alargamiento pero no sigue una ley. Para validar alguna de las hipótesis se han tomado medidas de las que resulta el cuadro dado en el problema. Entre la realización de experiencias (con la consiguiente toma de datos) y el enunciado de una ley científica hay que realizar una tarea de análisis y tratamiento de los datos, a fin de establecer relaciones entre las variables. En este caso la simple elaboración de una tabla permite establecer una relación a simple vista dado que la segunda fila de datos se obtiene multiplicando la primera por 5, pero por lo general el siguiente paso es la elaboración de gráficas. A partir de las tablas y gráficas se establece una ley que se expresa usando el lenguaje matemático, en forma de ecuación. En nuestro caso, la hipótesis válida sería la primera.
11	Las siguientes palabras se refieren a distintos aspectos de la “realidad”: coche, dolor, alegría, silla, azul. Explicar las diferencias y clasificarlas al menos en dos categorías. Solución: La primera clasificación y la más sencilla sería: - dolor, alegría: forman parte de una “realidad que no se ve”. Podemos sentirla y afecta al dominio de las emociones, pero no podemos medirla. Se podría también titular: “realidad que no se puede medir”. - coche, silla, azul: forman parte de una “realidad que se ve”. Su característica fundamental es que pueden describirse mediante propiedades que se pueden medir: masa, volumen, longitud de onda... Es una “realidad que se puede medir”.
12	Aplicar las etapas del método científico al estudio y explicación del comportamiento del juguete conocido como “termómetro del amor”. Se trata de dos bulbos de vidrio comunicados mediante un tubo estrecho, dispuesto todo verticalmente. Cuando colocamos las manos, el líquido asciende del bulbo inferior al superior, de modo que un ascenso rápido se asocia al hecho de estar muy enamorado. Solución: Lógicamente, la asociación del final del enunciado no tiene nada de científica. La comprensión del fenómeno requiere, como siempre: a) Observación. b) Hipótesis. c) Verificación mediante experimentación. La búsqueda de datos sobre el juguete nos permite descubrir que se trata de un líquido muy volátil, por ejemplo algún tipo de éter con colorante. El efecto del calor sobre este líquido provoca su paso rápido a fase vapor. Eso nos permite establecer una hipótesis relacionada con la temperatura de las manos: "El calor comunicado evapora el líquido de modo que aumenta mucho la presión del vapor generado en el seno del bulbo inferior. Este vapor presiona sobre el líquido haciéndolo subir al bulbo superior." Se pueden efectuar varios ensayos sencillos: - En primer lugar enfriamos nuestras manos con hielo o sumergimos el bulbo inferior en hielo, con lo que el fenómeno no es detectable. - En segundo lugar nos calentamos las manos en un radiador de calefacción o directamente aplicamos calor con un secador de pelo. Se observa que el fenómeno se reproduce a gran rapidez. Incluso aparecen burbujas en el bulbo superior como si el líquido hirviera. No es así, sino que cuando en el bulbo inferior queda poco líquido, lo que asciende por el tubo es una mezcla de gotas de líquido con vapor, que llega arriba y burbujea.
13	Analiza la siguiente frase: “Una ves que está establecida una ley, esta no puede cambiar y si cambia es porque no era una ley correcta” Solución: Cuando se establece una ley es porque aplicando el método científico a todos los posibles experimentos relacionados con el problema el resultado siempre es el mismo. Sin embargo la frase no es correcta, las leyes cambian porque algunos avances científicos como los métodos de experimentación evolucionan y permiten observar particularidades que antes pasaban desapercibidas de modo que las leyes se modifican.
14	A partir de la observación de los hechos siguientes: a)       Se observa el arco iris en un día de lluvia. b)       Un aspersor de riego, en un día soleado, deja ver igualmente un arco iris. c)       Al observar al trasluz un disco compacto, se ven dibujados los colores del arco iris. d)       Al hacer incidir un rayo de luz sobre un prisma de vidrio, y recogerlo sobre una pantalla, se ven también los colores del arco iris. Un alumno quiere saber si la ley física que está detrás de estos fenómenos puede explicarse mediante la reflexión o la refracción. Detallar los pasos que debe seguir y relacionarlos con el método científico. Solución: a) Observación de fenómenos: el alumno debe tratar de observar por sí mismo, si no lo ha hecho, los fenómenos que se citan, anotando todo cuanto vea: colores, orden de los mismos, etc. b) Trabajo bibliográfico y de consulta: necesita establecer con precisión la diferencia entre reflexión y refracción. c) Casi puede descartar la idea de la reflexión, pero el experimento del CD le hace dudar. Diseña experimentos para intentar reproducir el fenómeno con espejos, pero no lo consigue. Definitivamente cree que la explicación será debida a la refracción, definida como: desviación que experimenta un rayo luminoso al pasar de un medio a otro. d) Verificación de hipótesis: intenta reproducir algún experimento, por ejemplo: Se dispone un matraz con agua y frente a él una pantalla. En una habitación oscura se ilumina el matraz con una linterna de modo que en la pantalla aparecen los colores del arco iris. La conclusión es evidente: la luz, al atravesar las sustancias, sufre refracción. Si la desviación sufrida es distinta para cada color, a la salida se muestran por separado. Las leyes de la reflexión requieren experimentos posteriores, pero pueden establecerse del mismo modo.
15	De los siguientes calificativos, ¿cuál o cuáles crees que son aplicables al método científico?: subjetivo, refutable, especulativo, universal. Solución: El método científico es objetivo (no depende del observador), universal (sus resultados son válidos para todos y en todas partes) y refutable (sus teorías pueden validarse o refutarse mediante experiencias). Por lo tanto no es subjetivo ni es especulativo, lo cual es propio de otras áreas del conocimiento que prescinden de la experimentación natural.
16	Explicar las diferencias fundamentales entre la forma de conocer la realidad característica de un artista o la propia de un científico. Solución: Cuando un artista se aproxima a la realidad pone en juego lo que en el hombre denominamos dimensión artística o estética, la cual se caracteriza por su dimensión creativa y porque no es reproducible de una persona a otra: es posible que una pintura, por ejemplo, signifique algo totalmente distinto para unos y otros. Y ello es irrefutable. El científico pone en juego la dimensión racional de la persona y aplica un método de trabajo cuyas conclusiones se pueden confirmar o refutar.
17	Indica cuales de las siguientes afirmaciones son correctas: a) Seguir el método científico es el único modo de que la ciencia avance. b) Las hipótesis son verdades conocidas y comprobadas. c) Para comprobar las hipótesis se acude a la experimentación d) Una ley es una suposición o conjetura explicativa sobre algún fenómeno. Solución: La única solución correcta es la c.
18	Los dos primeros pasos en la resolución de un problema científico concreto han sido los siguientes: a) Queremos saber si la velocidad a la que caen libremente los objetos depende de la masa de los mismos. b) Basándonos en nuestra propia intuición proponemos la siguiente hipótesis: “Un objeto muy pesado caerá más deprisa que un objeto liviano”. ¿Qué pasos seguirías para confirmar esa hipótesis? Solución: El problema ha quedado delimitado y la hipótesis, aunque acepta matizaciones tales como: volumen del objeto, presencia de aire..., es aproximadamente verificable de este modo: Paso c) Verificación o demostración de la falsedad de la hipótesis: Tomamos un gran bloque de plastelina y lo partimos en pedazos de masa “m”, “2m”, “3m”... los cuales amasamos para darles forma esférica. Seguidamente, un compañero se sube a la azotea del colegio y otro queda en el patio observando. Se lanzan simultáneamente las bolas de masa “m” y “2m” y se comprueba que llegan al suelo a la vez. Se repite la experiencia con masas “m” y “3m”, el resultado es idéntico. Se toma una bola de plomo y se pega a un trozo de masilla para comprobar si “tira” hacia abajo de él. El resultado no es el pensado, sino que vuelven a llegar al suelo a la vez. d) Corregimos nuestra hipótesis de partida y la retocamos para establecer la siguiente ley: “La velocidad de caída libre de los cuerpos no depende de su masa”. e) El paso siguiente consistiría en aplicar la ley anterior a otras situaciones más extremas, por ejemplo: dejamos caer masas iguales de distinto tamaño, tal como un folio doblado en dos, cuatro, ocho trozos, arrugado en una bola... e intentamos matizar la validez de la ley en presencia de atmósfera, etc.
19	Después de analizar los resultados de todos los partidos de fútbol que han enfrentado al Betis y al Sevilla, un aficionado hace la siguiente predicción: "Es muy probable que el domingo que viene el Betis gane al Sevilla" Razonar si este aficionado ha seguido los pasos del método científico. Solución: El primer paso, observación de un fenómeno y documentación, puede inducirnos a pensar que se trata de una afirmación de índole científica, porque, en efecto, el aficionado hace un estudio que se apoya en herramientas matemáticas, saca estadísticas y se apoya en ellas para llegar a conclusiones. Fallan todos los pasos a partir de ahí: - En primer lugar no se dispone de la posibilidad de experimentar un fenómeno que sea reproducible en el laboratorio. - Tampoco existen variables que lo estudien ni, en consecuencia, podemos relacionarlas. - La hipótesis que enuncia el aficionado no responde a las características de una hipótesis científica: no es mensurable. Al igual que otras manifestaciones similares, se trata de análisis pseudocientíficos cuyas conclusiones no se pueden demostrar.
20	¿Es posible deducir una ley científica sin seguir los pasos del método científico? Solución: La respuesta categórica es SÍ. Numerosos avances de la ciencia son el resultado de una intuición genial e incluso de un  sueño, como le ocurriera a Kekulé cuando imaginaba la estructura interna del benceno. Otros muchos descubrimientos  han sido producto de la casualidad o el descuido de los científicos.
21	Si la frase “Pasar por debajo de una escalera da mala suerte” fuese una ley, indica las etapas del método científico que nos habrían llevado a ella. Solución: Establecemos el problema, para ello observamos que hay personas que tienen mala suerte. Proponemos hipótesis basándonos en conocimientos previos que tenemos que podrían ser del tipo << Las personas que están cerca de escaleras tienen mala suerte >> Contrastamos las hipótesis realizando multitud de experimentos con personas que están en contacto con escaleras, que están cerca de ellas, que pasan por debajo, que pasan por delante, que las tocan… aquí nos damos cuenta de que solo tienen mala suerte las personas de algunos de los experimentos de forma que retocamos y confirmamos la hipótesis correcta. Una vez confirmado que solamente las personas que pasan debajo de una escalera tienen mala suerte establecemos la ley.
22	Se han observado los siguientes fenómenos naturales: •     Se observa el arco iris en un día de lluvia. •     Un aspersor de riego, en un día soleado, deja ver igualmente un arco iris. •     Al observar al trasluz un disco CD, se ven dibujados los colores del arco iris. •     Al hacer incidir un rayo de luz sobre un prisma de vidrio, y al recogerlo sobre una pantalla, se ven también los colores del arco iris. a) Relacionar los fenómenos. b) ¿Se puede establecer una ley a partir de ello? ¿Y una hipótesis? ¿Cuál? Solución: Todos los fenómenos tienen que ver con el hecho de que, a veces, la luz blanca natural se descompone en diversos colores, que llamamos arco iris o espectro de la luz blanca. Se observan regularidades, que nos hacen pensar que tanto el CD como las gotas de lluvia se comportan del mismo modo que el prisma de vidrio. No es posible establecer una ley únicamente a partir de la observación de los fenómenos, pero sí varias hipótesis plausibles, como son: 1ª La luz blanca está constituida por diversos componentes que llamamos colores del arco iris. 2ª La luz blanca se descompone en sus colores cuando atraviesa ciertas sustancias transparentes. 3ª La suma de los colores que constituyen el arco iris da como resultado el color blanco. 4ª Los colores que componen el arco iris se suceden siempre en el mismo orden. Cualquiera de dichas hipótesis son suficientemente razonables para aceptarlas como tales, pero todas ellas necesitarían una comprobación ulterior.
23	ndica cuales de las siguientes afirmaciones son correctas: a) El SI de unidades lo implantaron los griegos b) El kg es la única unidad que aún se basa en un artefacto real c) Calcular el volumen de una habitación a partir de sus dimensiones se considera una medida directa. d) El voltio es una medida fundamental del S.I. Solución: La única solución correcta es la b.
24	Localizar la afirmación correcta: a) La unidad de tiempo en el S.I. es el minuto. b) 1 mg equivale a 10-9 kg. c) Si 1 Å = 10-10 m, entonces 9 nm = 0,9 Å. d) La temperatura en el S.I. se mide en °C. Solución: La respuesta correcta es la b).
25	¿Cuales delas siguientes características de los objetos se pueden considerar magnitudes físicas? a) Longitud. b) Belleza. c) Masa. d)  Peligrosidad. e) Color. Solución: Ni la belleza ni la peligrosidad se pueden medir, no entran dentro del dominio de la química. El color sí se puede medir, aunque tenga también otras connotaciones cercanas a la belleza.
26	Efectúa las operaciones siguientes expresando el resultado con el número correcto de cifras significativas. a) 2,12 - 4,338 b) 2,12 + 3,8 + 28,4 c) 7,28 · 0,25 d) 12,81/8,8 Solución: a) 2,12 - 4,338 = -2,218 lo cual redondeamos a -2,22 porque un sumando tiene dos decimales a la derecha de la coma. b) 2,12 + 3,8 + 28,4 = 34,3 c) 7,28 · 0,25 = 1,82, que redondeado a dos cifras significativas queda: 1,8. d) 12,81/8,8 = 1,4557, que redondeamos a dos cifras significativas y queda: 1,5
27	Localizar la afirmación correcta: a) La longitud, la masa y la fuerza son magnitudes fundamentales. b) En el S.I. las longitudes se miden en Km. c) La superficie y la velocidad se consideran magnitudes derivadas. d) La unidad de longitud en el S.I. se sigue definiendo en función de un patrón guardado en París. Solución: La respuesta correcta es la c).
28	Decir si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes: a) Todas las propiedades de las cosas se pueden expresar con magnitudes físicas. b) Medir una magnitud física es comparar valores de ésta con otras de la misma naturaleza que se toman como unidad. Solución: a) Falso. Hay realidades que no se pueden medir, con lo que no entran dentro del dominio de la ciencia. b) Verdadero.
29	Indica cuales de las siguientes afirmaciones son correctas: a) El kilogramo es un múltiplo de la unidad fundamental, que en el S.I. es el gramo b) Los múltiplos del segundo son el minuto, la hora y el día. c) Un submúltiplo se utiliza para medir cantidades inferiores a la unidad d) El sistema métrico decimal fue un invento de los romanos Solución: La única solución correcta es la c.
30	Expresar en notación científica los siguientes números: a) 0,000 000 002 b) 1200 millones d) ¿A qué múltiplos o submúltiplos hacen referencia? Solución: a) 0,000 000 002 = 2 · 10-9 b) 1200 millones serán: 1200 · 106 = 1,2 · 109 c) Si simplificamos los cuatros queda la unidad dividida por 10 ceros, es decir: 10-10. d) El exponente del apartado a) se llama "nano". El del apartado b) se llama "giga". El submúltiplo del apartado c) sólo se utiliza para medidas de longitud y equivale a 1 Å.
31	Se ha medido el diámetro de una moneda y se han obtenido estas medidas en centímetros:                              2,7  2,9  3,0  2,8  4,0  2,8  3,0  2,8  2,7 a) Analizar bien los datos antes de operar, valorar y descartar. b) Hallar el valor más probable para el diámetro. c) Calcular la longitud de la circunferencia de la moneda redondeando el resultado. Solución: a) Se observa un dato que se aleja enormemente del rango de valores (4,0 cm), por lo que conviene desecharlo. b) Con el resto hacemos una media y da: Expresamos el resultado con el error asociado: 2,8 ± 0,1 cm c) La longitud es L = 2pr = 2p·1,4 cm = 8,79 cm Hay que redondear a dos cifras significativas, como los datos de partida: 8,8 cm.
32	Se ha medido la longitud de onda de la luz amarilla emitida por átomos de sodio, obteniéndose los siguientes valores en nanómetros:                             590, 591, 590, 588, 590, 591, 589, 588, 587 Hallar su valor más probable y las incertidumbres absoluta y relativa de la última medida. Solución: Podemos tomar como valor más probable el valor medio de las medidas:                                     El error absoluto de la última medida es: 589,3 - 587 = 2,3 nm Y el error relativo:                          2,3/589,3 = 0,004 Se puede expresar como 0,4%
33	Al dar la medida de una habitación de 20 m nos hemos equivocado en 1 m. Al estimar el radio de la Tierra (cuyo valor exacto es de 6370 km) hemos dado 6,38 · 106 m. Comparar los errores absolutos y relativos y decir qué estimación es más precisa. Solución: En la habitación el error absoluto es de 1 m y el error relativo será: 1/20 Al calcular el radio de la Tierra, el error absoluto es mayor, exactamente 10 km. Pero el error relativo vale:                                 10/6380 = 1/638. Es decir, la imprecisión es mucho menor en este segundo caso.
34	Indica cuales de las siguientes afirmaciones son correctas: a) La masa, el tiempo y la longitud pertenecen al sistema métrico decimal b) Cuando las unidades son muy grandes se utilizan los múltiplos c) Las unidades de tiempo y espacio no se pueden separar desde el nacimiento de Einstein d) La unidad de cantidad de sustancia es el kilogramo Solución: La única solución correcta es la b.
35	Un objeto queda equilibrado en la balanza de un laboratorio con pesas por valor de 45,60 gramos. ¿Qué pesas lo equilibrarían en la Luna y por qué? Solución: Si la balanza midiera el "peso" del objeto, es decir la fuerza con que la Tierra lo atrae, lógicamente sería distinto. Pero la balanza mide la masa del objeto, y lo hace comparando con masas patrón que son las pesas que se colocan en el otro lado del platillo. En conclusión, la balanza se equilibraría en la Luna igualmente con pesas por valor de 45,60 gramos.
36	Responde a las siguientes preguntas: a) ¿En qué unidades de S.I. se medirá un volumen? b) ¿Y una masa? c) Si definimos densidad como la masa por unidad de volumen, ¿En qué unidades se medirá? Solución: a) El volumen se obtiene multiplicando tres dimensiones: largo, ancho, alto, de modo que se medirá en: b) La masa la medimos en kg. c) Dividiendo las unidades dadas se obtienen las de la densidad,
37	Lee el nonius de la figura suponiendo que las divisiones de la regla son en mm. Solución: La lectura correcta es 6,6 mm. La cifra de las décimas se obtienen observando qué división del nonius coincide exactamente con una cualquiera en la escala, lo cual sólo ocurre con el 6.
38	Para hallar el valor de la gravedad, un alumno deja caer una bola de acero desde el tejado hasta el suelo del patio, donde se ha colocado una plancha de hierro. Al golpear contra ella, el alumno detiene el cronómetro. Los resultados de tiempo, en segundos, han sido:                             1,7  1,8  2,0  1,8  1,6  1,9  1,8  2,1. a) ¿Se puede desechar alguno? b) ¿Cuál es el valor más probable para el tiempo de caída? c) ¿Cuál es el tanto por ciento de error de la primera medida respecto a él? Solución: a) No es posible desechar ninguno, ya que las desviaciones son parecidas. b) Calculamos la media aritmética para hallar el valor más probable:                           El resultado será: 1,8 ± 0,1 s c) Aceptando ese valor como el más probable, el error absoluto de la primera medida es 0,1 s, de modo que el error relativo será:                     0,1/1,8 = 0,056 Con una sola cifra significativa es 0,06, que equivale a un porcentaje del 6%
39	Un alumno dispone de un reloj que aprecia segundos y escribe una medida así: 40 s < t < 42 s. Indica: a) ¿Cuál es el valor más probable y cuál es su incertidumbre absoluta? b) Si el alumno hubiera escrito 21,45 ± 0,01 s, ¿qué significaría? Solución: a) Si el reloj aprecia segundos, la incertidumbre absoluta será: D  t  = ± 1 s. El valor más probable para la medida se expresa de este modo: t = 41 ± 1 s. b) Este resultado expresa de manera directa la incertidumbre absoluta, que es de una centésima: D   t = ± 0,01 s. Por tanto, el segundo reloj aprecia centésimas y el valor está comprendido entre 21,44 s y 21,46 s. Lo podemos escribir así: 21,44 s < t < 21,46 s.
40	Tomando valores de tiempo en el laboratorio para los tiempos de caída de una bola, han resultado los siguientes valores en segundos:                         2,1  2,3  2,4  2,8  2,3  2,6  2,9 a) ¿Puede ocurrir que el valor más probable no sea ninguno de estos valores? b) Calcular el valor más probable y hallar, prescindiendo del signo, los valores de todas las incertidumbres absolutas y su media. Solución: a) En efecto, puede ocurrir que el valor más probable no coincida con ninguno de ellos dado que la dispersión de las medidas por causas fortuitas puede arrojar un valor central medio distinto de todos. Veamos: b) Tomamos el valor medio como valor más probable y obtenemos:               Podemos redondear a 2,5 ± 0,1 s. Efectivamente, no coincide con ninguno de los valores experimentales. Las incertidumbres absolutas se obtienen restando este valor de cada una de las medidas. Si prescindimos de su signo, queda: 0,4  0,2  0,1  0,3  0,2  0,1  0,4 (todos ellos en segundos) Y el valor medio de todas estas desviaciones será:                   Redondeamos como 0,2 s.
41	Decir si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes y por qué: a) El número p   carece de unidades. b) En un producto o cociente, todos los factores deben ser homogéneos. Solución: a) Verdadero. El número p es el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro (metros partido por metros). Por ello, es un número sin dimensiones. b) Falso; eso sólo es verdadero en la suma y la resta. De hecho, muchas expresiones científicas son el cociente entre dos magnitudes distintas.
42	Un coche se desplaza a 85 km/h. Expresar esa velocidad en unidades del S.I. Solución: Transformamos cada unidad por separado, teniendo en cuenta cuál se encuentra en el numerador y cuál en el denominador:
43	Las medidas de una habitación vienen dadas así: Largo = 3,6 m; ancho = 52 dm a) Hallar la superficie en metros cuadrados y redondear el resultado. b) Explicar la diferencia entre medidas directas e indirectas. Solución: a) Para empezar expresamos los datos en las mismas unidades: 3,6 m y 5,2 m Seguidamente hallamos la superficie multiplicando: S = 3,6 · 5,2 = 18,72 m2 Puesto que los datos tienen dos cifras significativas, la respuesta la aproximamos por exceso hasta dejarla redondeada en dos cifras significativas, es decir: 19 m2 . b) No podemos medir la superficie de la mesa directamente con ningún aparato: se dice que la medida es indirecta, porque se obtiene a partir de otras medidas, en este caso de longitud, que sí son directas. El cálculo de medidas indirectas se realiza normalmente utilizando expresiones matemáticas que relacionan medidas directas.
44	¿Qué edad viene dada de forma más exacta, la de un niño de 18 meses o la de un hombre de 40 años? Solución: Comparamos los errores relativos de ambas edades: Para el niño la imprecisión puede ser de un mes y el error relativo será 1/18. Para el hombre la imprecisión puede ser de un año, y el error relativo será 1/40, que es menor que el anterior. Por tanto, es más preciso el dato de la edad del hombre.
45	Comentar el desarrollo siguiente: El error absoluto de una medida es: e = 32,18 - 32,00 = 0,18. Por tanto el error relativo será: 0,18 · 100 = 18% Solución: El error relativo está mal definido, porque se ha limitado a multiplicar el error absoluto por 100. Si el valor más probable para la medida es 32,00 entonces habría que hacer: 0,18/32,00 = 0,0056, que aproximamos con una sola cifra significativa así: 0,006. El tanto por ciento de error será: 0,006 · 100 = 0,6%.
46	1 litro de aire tiene una masa de 1,2 g a una temperatura de 25 °C. Calcula la masa en kg del aire de una habitación de 2,25 m · 5,5 m · 5,5 m, redondeando correctamente el resultado. Solución: El volumen de la habitación es de 2,25 · 5,5 · 5,5 = 68,0625 m3 Como hay factores con dos cifras significativas, redondeamos a 68 m3 Así pues, el aire de la habitación son: 68 000 litros · 1,2 = 81 600 g = 81,6 kg. Con dos cifras significativas, redondeamos a 82 kg.
47	Indicar en cada caso qué magnitud es mayor: a) 1892 mm ó 20 dam b) 4,02 dg ó 0,402 g c) 226 cm2 ó 0,0226 m2 d) 1740 g ó 1,6 kg e) 1Å ó 10 nm. Solución: Lo pasamos todo a las mismas unidades para comparar: a) 1892 mm;  200 000 mm. Es mayor la segunda. b) 4,02 dg; 4,02 dg. Son iguales. c) 226 cm2 ; 0,0226 · 100 00 = 226 cm2. Son iguales. d) 1740 g; 1,6 · 1000 = 1600 g. Es mayor la primera. e) 10-10 m; 10·10-9 = 10-8 m. Es mayor la segunda.
48	Expresar en el S.I. las siguientes medidas: a) 0,8 billones de Km. b) 1 día. c) 1 Gs. d) 1,5 años-luz. Solución: a) 0,8 · 1012 Km. = 0,8 · 1012 · 103 m = 8 · 1014 m. b) 1 día, de 24 horas, de 60 minutos, de 60 segundos será: 1 · 24 · 60 · 60 = 86 400 s c) 1 Gs = 109 s. d) 1,5 años-luz = 1,5 años · 365 · 24 · 60 · 60 s · 300 000 000 m/s = 1,42 · 1016 m.
49	Si una balanza aprecia hasta el miligramo: a) ¿Cuáles son las cifras significativas de la pesada: 0,780 g? b) Si el objeto pesado tiene un volumen de 2,5 mL, calcular su densidad, redondear el resultado y expresarlo en unidades del S.I. Solución: a) Las cifras significativas son todas salvo el cero a la izquierda de la coma. El cero de la derecha nos indica precisamente la sensibilidad de la balanza. b) d = masa/volumen = 0,780 g/2,5 mL = 0,312 g/mL. Redondeamos el resultado a dos cifras significativas (como el dato de volumen): 0,31 g/mL En unidades de S.I. será:
50	Decir si las siguientes igualdades son correctas: a) 12 nm = 0,000 000 000 12 m b) 18 km/h + 2 m/s = 7 m/s Solución: a) Falsa. Debe haber 9 lugares a la derecha de la coma. b) Verdadera. Se cambian las unidades para poder sumar y da: 18·1000 m/3600 s = 5 m/s. Es decir: 5 m/s + 2 m/s = 7 m/s
51	Explicar en qué consiste el error de paralaje y aplicarlo a la lectura de una bureta. Solución: Se produce el error de paralaje cuando el observador mira oblicuamente un objeto sobre una escala. En el caso de una bureta, si no estamos situados a la altura del líquido, veremos la escala en posición no coincidente (no paralela) con el nivel del líquido, con lo cual la medida será errónea.
52	Si frente al valor de   p   = 3,1415926, se toman sólo dos decimales, ¿qué error absoluto y relativo se están cometiendo? Solución: El error absoluto será: 3,1415926 - 3,14 = 0,0015926. Y el error relativo será: 0,0015926/3,1415926 = 0,0005
53	Decir si los siguientes enunciados son correctos y poner ejemplos: a) "Los ceros que aparecen a la derecha de la coma no se consideran cifras significativas." b) "Los ceros del principio de un número no se consideran cifras significativas." Solución: a) Es falso; los ceros a la derecha de la coma sí que son significativos. A veces expresan la exactitud de una medida. Ej.: 23,00 g, indica que la balanza mide la centésima. b) Es correcto. En el número 0,02 se considera que los dos primeros números no son significativos. Esto se ve fácilmente expresándolo como 2·10-2
54	Escribir la medida con su incertidumbre para el amperímetro del dibujo. Solución: La división más pequeña es de 20 mA, por tanto daremos:  160 ± 20 mA
55	Establecer la diferencia entre exactitud, sensibilidad y precisión en la toma de una medida. Poner un ejemplo. Solución: La exactitud de una medida tiene que ver con los posibles errores sistemáticos cometidos al tomarla. Un método de medida es exacto (o fiel) si no se cometen errores sistemáticos, como colocar mal las muestras o los aparatos de medida, utilizar un aparato de medida desajustado... La sensibilidad de un instrumento tiene que ver con las variaciones que es capaz de apreciar en el valor de una magnitud. Un método de medida es tanto más sensible cuanto menor sea la imprecisión de sus medidas. Por tanto se relaciona con la precisión. Por último, la precisión de un instrumento es mayor cuando dispone de divisiones más finas y puede proporcionar más decimales para la medida. Ejemplo: una balanza que aprecie la cuarta cifra decimal es capaz de medir 10-4 g, por lo que es muy sensible. Pero si por algún defecto un brazo está sucio y tiene una sobrecarga, las medidas que tomemos con ella no serán exactas.
56	Se sabe que el valor de la gravedad en cierto lugar es 9,81 m/s2, lo cual se quiere probar mediante un experimento con un péndulo simple. Debido a la dificultad para estimar experimentalmente los valores de la longitud del hilo y el período del péndulo, los valores se dispersan mucho y se obtiene para "g" lo siguiente:                     10,00  10,02  9,80  10,00  9,85  10,03  10,02 a) Hallar el valor experimental más probable para "g". b) Calcular el error relativo de cada medida. Solución: a) El valor que aceptamos como más probable es la media. El error asociado es b) Los errores absolutos de cada medida son, en valor absoluto: 0,04  0,06  0,16  0,04  0,11  0,07  0,06 Y, por tanto, los errores relativos serán: 1ª medida: 0,04/9,96 = 0,004 2ª medida: 0,006 3ª medida: 0,002 4ª medida: 0,004 5ª medida: 0,001 6ª medida: 0,007 7ª medida: 0,006
57	Determinar el número de cifras significativas de las siguientes medidas y operaciones: a)     0,0420 b)    420,0 c)     0,42 + 4,2 d)    4,2 · 0,042 Solución: a) 0,0420 tiene tres cifras significativas. b) 420,0 tiene sus cuatro cifras significativas. c) 0,42 + 4,2 = 4,62, que redondeamos a dos cifras significativas: 4,6 d) 4,2 · 0,042 = 0,1764, que aproximamos a dos cifras significativas: 0,18.
58	Redondear el número 76,5168 de decimal en decimal. ¿Cómo habría que redondear la suma: 76,5168 + 5,9? Solución: - Si redondeamos a cinco cifras significativas quedaría: 76,517 A cuatro cifras significativas: 76,52. A tres cifras significativas, simplemente eliminamos el 2: 76,5. - En este caso, el resultado no debe tener más números a la derecha de la coma decimal que el dato que menos decimales tenga, por tanto será: 76,5168 + 5,9 = 82,4.
59	Distinguir errores sistemáticos y errores accidentales y explicar de qué modo se pueden evitar. Solución: Los errores sistemáticos son consecuencia de la forma de medir o usar el instrumento de medida. Los más frecuentes son los errores de calibrado, que nos inducen a engaño, puesto que las medidas pueden ser de gran precisión pero erróneas. Los errores accidentales son los que se producen al azar por causas imprevistas. Siendo así, estos errores se distribuyen estadísticamente a un lado y otro del verdadero valor, con lo cual se compensan. Se pueden evitar tomando como valor más probable la media aritmética de las medidas.
60	Un voltímetro aprecia 0,1 V y otro aprecia 0,05 V. a) Indicar, a partir de la sensibilidad de cada aparato, la incertidumbre absoluta de cada uno. b) Con el primero se mide una diferencia de potencial de 3,2 voltios y con el segundo otra de 0,5 voltios. Si definimos la incertidumbre relativa como la relación entre la incertidumbre absoluta y el valor hallado, ¿qué medida tendrá más calidad? Solución: a) La incertidumbre del primer voltímetro se escribe así: D   V = ± 0,1 V La del segundo será: D   V = ± 0,05 V b) Para hallar la calidad de la medida calculamos la incertidumbre relativa del modo que nos indica el enunciado, es decir: Primera: 0,1/3,2 = 0,03 Segunda: 0,05/0,5 = 0,1 Tiene mucha más calidad la primera medida.
61	Se dispone de una balanza cuya apreciación llega al decigramo, de modo que al pesar un objeto se ha escrito:  45,6 ± 0,1 g Interpretar el resultado y definir "incertidumbre". ¿Qué posibles valores se obtendrían si llevamos el objeto a una balanza que sea sensible a la centésima? Solución: La expresión ±0,1 nos da el rango de medida de la balanza y coincide con la división más pequeña posible de la escala. Se llama incertidumbre de la medida al máximo error con que viene afectada como consecuencia de la apreciación del instrumento. Si la segunda balanza da como resultado 45,65 ó 45,66 ó 45,67 ó 45,68 ó 45,69, entonces significa que la primera balanza aproximará el resultado al decimal superior y escribirá en todos los casos 45,7. Por debajo, también habrá un margen de cinco posibles cifras para el segundo decimal: 45,60 ó 45,61 ó 45,62 ó 45,63 ó 45,64.  En conclusión: hay un margen de ±0,05 en torno al valor central (45,6). Hay un total de 0,1 de incertidumbre.
62	Proponer varios procedimientos experimentales para medir el volumen de una gota de agua. Solución: - Primera posibilidad: si disponemos de una balanza suficientemente sensible, colocamos un vidrio de reloj o cualquier recipiente sobre ella y mediante la tara la llevamos a cero. Seguidamente dejamos caer con un cuentagotas diez gotas de agua. La balanza podría dar un valor aproximado de 0,4 g. Repetimos lo mismo con distinto número de gotas: de cinco en cinco, de ocho en ocho, etc. Se hace la media en cada caso y promediamos todos los resultados. El resultado podría rondar el valor de 0,04 g cada gota. Teniendo en cuenta que la densidad del agua es de 1 kg/litro = 1 g/ml, resulta un volumen de 0,04 ml. - Segunda posibilidad: Se toma una bureta y se enrasa a cero. Se abre la llave de forma que gotee muy lentamente. Vamos contando el número de gotas hasta completar que haya salido 1 ml exacto y cerramos la llave. Si han sido un total, por ejemplo, de 25 gotas, queda: 1/25 = 0,04 ml. Esta medida se hace repetidas veces, y se promedia el resultado.
63	Responde a las siguientes preguntas: a) ¿A qué equivale un “año-luz”? b) Igual que el año-luz podríamos usar como unidad de longitud el "minuto-sonido" o el "segundo-sonido". Calcular el valor de esas magnitudes. (Considerar que el sonido se desplaza en el aire a una velocidad de 340 m/s). c) ¿A qué distancia se encuentra una tormenta si entre el relámpago y el trueno han transcurrido 3 "segundos-sonido"? Solución: a) Un año-luz es una magnitud de longitud que equivale a la distancia recorrida por la luz en 1 año, es decir:     365 · 24 · 60 · 60 = 31 536 000 s/año     b) 1 minuto-sonido = 60 · 340 = 20 400 m.     1 segundo-sonido = 340 m. c) La distancia es precisamente 3 segundos-sonido, es decir: 3 · 340 = 1020 m.
64	Comentar la siguiente afirmación: "El error relativo nunca puede ser mayor que el error absoluto." Poner ejemplos que la corroboren o desmientan. Solución: La afirmación puede parecer correcta a primera vista, ya que el error relativo se obtiene dividiendo el error relativo por el valor más probable, pero eso depende de la magnitud de los valores: - Si se trata de medidas mayores que la unidad, sería así en efecto: Ejemplo: Si xi = 3 es una medida concreta y xm= 2 es el valor medio de las medidas, el error absoluto será  xi - xm =  3 - 2 = 1 y el error relativo: 1/2. - Pero si se trata de valores menores que la unidad: Ejemplo: Error absoluto: 0,2 - 0,1 = 0,1 y error relativo: 0,1/0,1 = 1, que es mayor que el error absoluto.
65	Se sabe que cada cuadrícula del fondo es un cuadrado de 5 x 5 cm. Calcular la superficie del paño que está encima de la cuadrícula y redondear el resultado, con aproximación y sin ella. Solución: Si renunciamos a aproximar al máximo el resultado y no queremos tomar una medida de mayor precisión que la que tiene la "regla" que estamos usando, habrá que decir que sólo podemos trabajar con 5 cm como unidad más pequeña, con lo cual las medidas son: largo: 8 · 5 = 40 cm; ancho: 4 · 5 = 20 cm. Con lo que resulta una superficie de 40 · 20 = 800 cm2 Pero se puede aproximar un poco más sin dividimos mentalmente cada celdilla en 5 divisiones, intentando apreciar hasta 1 cm. Entonces, en buena aproximación, resulta: Largo = 42 cm; ancho = 18 cm De donde la superficie sale: 42 · 18 = 756 cm2
66	Al medir la longitud de un palo se han obtenido los siguientes valores en centímetros: 90  88  92  90  91  89  91  89  99 ¿De qué manera procederemos para hallar el valor más probable para la longitud del palo? Calcula la incertidumbre absoluta de la primera medida. Solución: Si para hallar el valor más probable nos limitamos a calcular la media de valores, resulta:                       Esto nos da un valor de: 91 ± 1 cm Según esto, la incertidumbre absoluta de la primera medida es : 91 - 90 = 1 cm Sin embargo, al observar el conjunto de los valores se ve que la última medida se aleja mucho del valor de todas las demás y está desviando mucho el valor más probable. Esto ocurre muy a menudo y en esos casos se debe desechar el último valor. Si lo hacemos así resulta:                            Y en este caso resulta que el valor más probable o valor medio es igual a 90 cm. En este supuesto, la incertidumbre de la primera medida es cero.
67	Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El error absoluto y el error relativo se expresan sin unidades. b) El % de error equivale al error o incertidumbre absoluta multiplicado por 100. Solución: a) No es correcto. El error absoluto tendrá las unidades de las correspondientes medidas que se restan:   No así el error relativo que, en efecto, no tiene unidades porque resulta de dividir dos magnitudes homogéneas. b) Tampoco es correcto. La frase sería correcta si donde pone incertidumbre absoluta pusiera incertidumbre relativa.
68	El diámetro de un glóbulo rojo es de unas 7 micras: a) Expresar su radio en Km. b) ¿Cuántos glóbulos rojos habría que colocar en fila para cubrir la distancia de 1 cm? c) Si un hombre tiene 5 millones de glóbulos rojos por mm3, ¿cuántos tendrá en 1 litro de sangre? Solución: a) Radio = 3,5 · 10-6 m. = 3,5 · 10-9 Km. b) Su diámetro en centímetros es: 7 · 10-4 cm, luego harán falta:      glóbulos rojos. c) 1 litro = 1 dm3 = 106 mm3     Los glóbulos rojos en ese volumen son:      glóbulos rojos/L.
69	Diseñar un experimento que nos permita saber el grosor de una página del libro de Física y Química y aplicarlo. Solución: En primer lugar comprobamos que no tenemos aparatos que nos permitan una medida directa. Por tanto procedemos del siguiente modo: - Se miden las páginas de todo el libro prescindiendo de las portadas, para lo cual usamos un calibrador. Se trata de una medida difícil ya que hay que tener cuidado de no dejar demasiado flojo el calibrador ni tampoco presionar demasiado. - Es imprescindible realizar esa medida numerosas veces. Incluso, para más precisión, se pueden medir bloques de distinto número de hojas. - Dividiendo esta medida por el número total de hojas, obtendremos el espesor de una sola hoja.
70	El cabello humano crece por término medio 0,5 mm/día. a) Expresar este crecimiento en Ángstrom por hora. b)¿Qué longitud hipotética tendría un cabello de 5 cm al cabo de 1 año? Solución: a) 0,5 mm/día = 0,5 · 10-3· 1010 Å/24 horas = 208 333,3 Å/h b) En un año habría crecido: 0,5 mm · 365 días = 182,5 mm = 18,25 cm La longitud total sería: 18,25 + 5 = 23,25 cm.
71	El radio de un átomo de oro es de 2,5/100 000 000 centímetros. ¿Cuántos átomos de oro necesitamos poner uno tras otro para cubrir una distancia de 2 m? Solución: Vemos que el radio es de 2,5 Å. El diámetro de un átomo de oro será: Por tanto, habrá que colocar: átomos de oro.
72	Escribe las siguientes magnitudes en las unidades que se piden: a) El radio de la Tierra mide 6380 Km. Exprésalo en metros, micras y ángstrom. b) La distancia de la Tierra al Sol es de unos 150 000 000 000 m. Expresarlo en notación científica. ¿Cómo se podría medir esa distancia a partir de la velocidad de la luz? Solución: a) 6380 Km. = 6380 000 m = 6,38 · 106 m = 6,38 · 106 · 106 m = 6,38 · 1012 m     6,38 · 106 m = 6,38 · 106 · 1010 Å = 6,38 · 1016 Å. b) 150 000 000 000 m = 1,5 · 1011 m     Si la luz recorre 300 000 km/s = 3 · 108 m en 1 segundo, entonces lo que le cuesta recorrer la distancia  Tierra-Sol será:     Se podría decir que la distancia Tierra-Sol es de 8,33 minutos-luz.
73	El enunciado de un problema nos dice que el radio de una circunferencia es 3,4 m y nos pide hallar su longitud. Al efectuar la operación con la calculadora, ésta pone para p   el valor: 3,141592654. Explicar cómo debe hacerse la operación. Solución: No tiene ningún sentido manejar con la calculadora una exactitud para p de hasta 9 decimales si luego no somos capaces de medir el radio con la misma precisión. Puesto que la operación que tenemos que hacer es: L = 2pr, resulta: L = 2 · 3,141592654 · 3,4 = 21,36283005 m. El resultado no debe superar el número de cifras significativas que tiene el dato del radio (dos), así pues, el resultado correcto será: 21 m.
74	Un objeto cae por un plano, de modo que la ecuación que relaciona el tiempo de caída y el espacio recorrido es;  s = 2t2 a) Representar "s" frente a "t". b) ¿Qué espacio habrá recorrido al cabo de 5 s? Solución: a) Construimos una tabla de datos: b) Para hallar el espacio recorrido sustituimos en la ecuación obtenemos: s = 2 · 52 = 50 m.
75	Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) El número 0,00015 en notación científica se escribe 1,5 · 10 -4 b) 25 nm equivalen a 0,00000000000025 m c) El resultado de la operación 4,35 · 12,8 se escribe 55,6 d) En la pesada 14,05 g, el cero no se considera cifra significativa. Solución: La respuesta correcta es la a.
76	Expresa la ecuación que más se aproxime a esta gráfica. ¿Cuánto vale la ordenada en el origen? Solución: La gráfica corresponde a una función del tipo: y = a · x + b La ordenada en el origen vale b = 2, de modo que queda: y = a · x + 2 Si sustituimos los valores del punto (8 , 8), queda: 8 = a · 8 + 2 Despejamos a = 3/4. La ecuación queda: y = 3x/4 + 2
77	Un objeto cae por un plano, de modo que la ecuación que relaciona el tiempo de caída y el espacio recorrido es; s = 3 t2 a) Hacer una tabla de valores. b) Comparar la gráfica "s" frente a "t" con la gráfica "s" frente a "t2". Solución: a) La tabla de valores y la representación quedan como sigue: La gráfica corresponde a una función cuadrática. b) En cambio, si representamos frente a t2 es como si hiciéramos una sustitución de variables: a "t2 " le llamamos "f" y nos queda: s = 3 f, que corresponde a una recta que pasa por el origen. En efecto:
78	Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) El error de paralaje es debido al mal calibrado de un aparato. b) El error absoluto se expresa: c) El error absoluto no tiene unidades d) El mejor modo de evitar los errores accidentales es realizar una sola medida muy cuidadosa. Solución: La respuesta correcta es la b.
79	Expresa matemáticamente la función correspondiente a esta gráfica: ¿Qué coordenadas corresponden a P? Solución: La gráfica es del tipo: y = k · x Sustituimos el valor para el punto (x , y) = (8 , 6) y queda: 6 = k · 8, de donde deducimos que k = 3/4. La función queda: y = 3x/4 Si sustituimos ahora el valor de "x" para el punto P, del que conocemos x = 4, queda: y = 3·(4/4) = 3 Así pues, las coordenadas de P son: (4 , 3).
80	Colgando sucesivas masas de un muelle se han obtenido los siguientes resultados: Alargamiento (cm) 2 3 4 5 6 Masa colgante (g) 10 15 20 25 30 Explicar las variables que intervienen  y hacer el tratamiento de resultados. Solución: En primer lugar hay una serie de variables (que se suelen llamar variables controladas) que no intervienen ni interfieren en el experimento, en este caso son: humedad, temperatura, presión... En un experimento, por lo general, estudiamos la forma en que cambian unas variables (variables dependientes) cuando modificamos otras (variables independientes). En este caso, la longitud del resorte será la variable dependiente y el peso que colgamos es la variable independiente. Si representamos la masa (unidades de 5 en 5) frente al alargamiento, resulta la gráfica siguiente: La relación entre las variables es lineal, de modo que podemos establecer la siguiente ecuación: masa = k · alargamiento La constante “k” se obtiene sin más que dividir la masa entre el alargamiento:
81	¿Cómo se llama la función que se corresponde con las gráficas siguientes y qué expresión matemática le corresponde? Solución: a) Función cuadrática. Su representación es una parábola. Ecuación: y = a · x2 b) Función inversa. Su representación es una hipérbola equilátera. Ecuación: y = k/x c) Función lineal. Su representación es una línea recta. Ecuación: y = k · x.
82	Contesta a las siguientes preguntas sobre gráficas: a) ¿A qué se llama ordenada en el origen? Poner un ejemplo. b) Representar una gráfica cuya ordenada en el origen sea -2. Solución: a) En la ecuación: y = a + bx, el valor que se obtiene para la variable "y" cuando se anula la variable "x" se llama ordenada en el origen, ya que en efecto representa el valor de la ordenada (y) cuando x = 0 (en el origen). Ejemplo: y = 3 + 2x. Cuando x = 0, la ordenada en origen es 3. b) Cualquier gráfica que pase por el punto (0 , -2) serviría. Por ejemplo:
83	Expresa matemáticamente la función que se corresponde con la gráfica siguiente: Solución: Se trata de una función afín cuya ordenada en el origen vale 60. La expresión matemática es del tipo: y = a · x + b = a · x + 60 Si sustituimos los valores correspondientes al punto (8 , 0) por el cual pasa la recta, queda: 0 = a · 8 + 60 Despejamos a = -15/2. Así pues, la recta tiene de ecuación: y = -15x/2 + 60 Se dice que esta recta tiene pendiente negativa.
84	Se dan a continuación los valores de masa y volumen de cierto material: Masa (kg) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Volumen (m3) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 a) Representar gráficamente la masa frente al volumen. b) ¿Cuánto vale la pendiente y qué representa? Solución: a) Representamos la masa en ordenadas y el volumen en abscisas: La gráfica es del tipo: y = k · x b) La pendiente "k" se puede calcular a partir de los cocientes y/x. Representa la densidad del material, como se deduce de sus unidades.
85	Completar con las palabras necesarias: a) La línea recta se corresponde con una relación entre magnitudes que se llama proporcionalidad________________. b) Si la gráfica es una parábola, la proporcionalidad se llama ___________________. c) En una función lineal, el cociente y/x recibe el nombre de _______________. d) La ecuación  ____________________ corresponde a una función afín. Solución: a) La línea recta se corresponde con una relación entre magnitudes que se llama proporcionalidad DIRECTA. b) Si la gráfica es una parábola, la proporcionalidad se llama INVERSA. c) En una función lineal, el cociente y/x recibe el nombre de PENDIENTE. d) La ecuación  corresponde a una función afín
86	La gráfica representa diversas situaciones de un móvil. Expresar la ecuación correspondiente a cada tramo. Solución: a) Tramo 0-3: Se trata de una función lineal del tipo: y = a · x     Sustituimos las coordenadas del punto (3 , 6) y queda: 6 = a · 3     Luego la pendiente es positiva y de valor 2. La ecuación es: y = 2x b) Tramo 3-6: Se trata de un valor constante en el que la ordenada "y" tiene siempre el mismo valor. Por tanto, la ecuación será: y = 6. c) Tramo 6-11: Se trata de una recta con pendiente negativa cuya forma viene dada por: y = a · x + b.     Puesto que pasa por el punto (11 , 0) podemos poner:     0 = a · 11 + b     De donde despejamos b = -11a     Puesto que pasa por el punto (6 , 6) podemos poner:     6 = a · 6 + b     Sustituyendo: 6 = a · 6 -11a = -5a     De ahí resulta a = -6/5     Con lo cual b = 66/5     La ecuación finalmente es: y = -6x/5 + 66/5
87	Expresa el resultado correcto en las siguiente operaciones a) 24,31 + 2,07 = b) 24,31 · 3,6 = c) Redondea a cinco cifras significativas  14,3255 Solución: a) 24,31 + 2,07 = 26,38, pero como el dato con menor número de cifras significativas tiene solo tres, hay que redondear el resultado y queda 26,4 b) 24,31 · 3,6 = 87,516, ocurre como en el caso del apartado anterior y se debe redondear a 88 (dos cifras significativas). c) Con cinco cifras significativas quedaría 14, 326
88	Construir una tabla de datos a partir de la expresión: a) P · V = 8 (la presión en atmósferas y el volumen en litros). b) m = 400 x (La masa en gramos y el alargamiento en centímetros) ¿A qué fenómenos físicos hacen referencia? Solución: a) Se refiere a la relación entre presión y volumen en un gas. Para hacer más cómodamente la tabla de datos, despejamos: Y ahora tomamos valores para P a medida que damos valores a V: b) Hace referencia al alargamiento producido en un muelle por una masa colgante. Damos valores a "x" y vemos qué valor toma "m".
89	Para calcular el volumen de una gota de agua, se mide el de cantidades muy grandes de gotas para poder utilizar los instrumentos que manejamos. Después de algunas medidas resulta la tabla siguiente: Nº de gotas 100 50 250 150 200 Volumen (mL) 10 4,9 25,1 15 20 a) Representar el volumen frente al número de gotas y trazar la recta que mejor represente los datos. b) Hallar la pendiente de la recta. ¿Qué representa? Solución: b) La ecuación de la recta es del tipo: y = a · x El valor de "a" se denomina pendiente de la recta y se obtiene del cociente y/x. En este caso, como no todos los coeficientes son iguales, podemos hallar una media. Los resultados son: a = 0,098; 0,1;  0,1;  0,1;  0,1004 La media de todos los valores es a = 0,1 que representa precisamente el volumen de una sola gota. Podemos expresarlo : 0,1 mL/gota.
90	Decir si las siguientes afirmaciones son correctas y por qué: a) En la función inversa, el producto de las variables es constante. b) La expresión: y = x/8 corresponde a una función inversa. Solución: a) Verdadera. La función inversa es del tipo: y = k/x Si quitamos el denominador queda: y · x = k b) El hecho de que la ecuación tenga un denominador no permite denominarla "inversa", ya que es una variable la que debe estar en el denominador. Sería función inversa: y = 8/x, pero no la que se da, en la que la relación entre las variables “x” e “y” es lineal.
91	Estudia la siguiente gráfica e indica porque la función matemática que representa es una cuadrática si la función dibujada es una recta. Solución: Las parejas de valores están bien dibujadas y marcadas sobre la grafica donde indican sus ejes. Sin embargo si nos fijamos en el eje vertical, las distancias entre los distintos valores no son iguales. Por ejemplo la distancia entre 9 y 4, que son cinco unidades esta representada por un cuadro, pero la distancia entre 16 y 9 que son 7 unidades también está representada por un cuadro. En el eje Y podemos concluir que no hay una escala en la que estén los puntos uniformemente espaciados
92	Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) Se denomina error relativo al error absoluto promedio b) Si el error absoluto de una medida es ea =44,05 - 44,00 = 0,05  entonces su error relativo es un 5% c) La expresión y = - 5 + 2x corresponde a una recta que pasa por el origen d) En la función inversa el producto de las variables es constante. Solución: La respuesta correcta es la d.
93	Para encontrar la masa de una moneda, se agrupan varias en montones y se pesan. Después de algunas medidas resulta la tabla siguiente: Nº de monedas 5 10 15 20 25 Masa (gramos) 47 96 145 193 240 a) Representar la masa frente al número de monedas y trazar la recta que mejor represente los datos. b) Hallar la pendiente de la recta. ¿Qué representa? Solución: b) La ecuación de la recta es del tipo: y = a · x El valor de "a" se denomina pendiente de la recta y se obtiene del cociente y/x. En este caso, como no todos son iguales, podemos hallar una media. Los resultados son: a = 9,4  9,6  9,7  9,7  9,6 La media de todos los valores es a = 9,6, que representa precisamente el peso de una sola moneda. Podemos expresarlo así: 9,6 g/moneda.
94	Tenemos una columna de agua de 60 cm de altura que tiene un poro por el que se va el agua. A lo largo del tiempo, la altura de la columna disminuye y se han tomado los datos siguientes: Altura 60 50 40 30 20 Tiempo (horas) 0 1 2 3 4 a) Representar la altura frente al tiempo. b) ¿Qué relación existe entre las magnitudes? c) ¿Qué tiempo le cuesta vaciarse por completo? Solución: b) La ecuación es del tipo y = a · x + b, siendo "b" la ordenada en el origen, que en este caso vale 60 cm. El valor de la constante "a" se obtiene sustituyendo los valores de un punto. Por ejemplo (2 , 40), es decir: 40 = a · 2 + 60 De donde sale: a = -10 La ecuación que relaciona las variables será: y = -10x + 60; Altura = -10 · t + 60 c) Leyendo la gráfica se observa que la altura es nula cuando han transcurrido 6 horas. También se puede calcular a partir de la ecuación: 0 = -10 · t + 60 Y sale, en efecto, 6 horas.
95	Se disponen distintas masas colgando de una goma, y se anotan los alargamientos, resultando la tabla siguiente: Longitud (cm) 10 12 14 16 18 Masa (g) 0 100 200 300 400 Representar los valores y proponer una ecuación que nos dé la longitud de la goma en relación con la masa colgante. Solución: Representamos la longitud en el eje Y, y la masa en X: Se trata de una función del tipo: y = a · x + b, donde el valor de la ordenada en origen es b = 10. Sustituyendo cualquier par de valores: 12 = a · 100 + 10 Resulta: a = 2/100 = 0,02 Por tanto la ecuación será: Longitud de la goma = 0,02 · masa (g) + 10 Podría hacerse igual tomando los datos de masa en kg, con lo que quedaría: Longitud de la goma = 20 · masa (kg) + 10